Приложение к ООП ООО,
утв. приказом МАОУ «Лицей № 21»
Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение
«Лицей №21»
Рассмотрена на педагогическом совете
МАОУ “Лицей № 21”
Протокол № 01 от 28 августа 2023 г.
Утверждена приказом
МАОУ “Лицей № 21”
от 29.08.2023 г № 74
Рабочая программа учебного
курса внеурочной деятельности
«Решение олимпиадных задач по математике»
Уровень основного общего образования.
Срок освоения: 34 недели (7, 9 классы)
Составитель: Новоселов М.А.
Учитель математики
г. Первоуральск
Пояснительная записка
Рабочая программа учебного курса внеурочной деятельности «Решение олимпиадных задач
по математике» ООП ООО МАОУ «Лицей № 21» разработана на основе ФГОС основного общего
образования, Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина
России, Рабочей концепции одаренности. Программа направлена на выращивание математических
способностей и одаренности детей, их обще интеллектуальное и личностное развитие, повышение
качества подготовки к математическим олимпиадам и качества математического образования в
целом.
Целью курса «Решение олимпиадных задач по математике» является системная подготовка
учащихся 7, 9 классов к математическим олимпиадам, ориентированная на вовлечение школьников
в математическую деятельность, развитие мотивации, мышления, творческих способностей и за
счет этого — достижение более высокого уровня их олимпиадной и общей математической
подготовки.
Методологической основой реализации поставленной цели являются следующие
принципы:
1) Принцип развития, который состоит в том, что олимпиадная подготовка должна быть
нацелена прежде всего на создание условий для всестороннего развития мышления и
личностных качеств каждого ученика, а не ограничиваться тренингом в освоении ими методов
олимпиадной математики.
2) Принцип «выращивания» состоит в совмещении, с одной стороны, внутренней активности
ученика, его целенаправленных попыток раскрыть и реализовать свой потенциал, а с другой
стороны, внешней организации этой активности со стороны учителя в рамках той же цели.
3) Принцип успешности состоит в акцентировке на успешность, то есть в создании такой среды,
где к ошибке относятся как к ступеньке роста, а не поводу для огорчения и порицания, где
ценится и поддерживается успех каждого ученика относительно себя, независимо от
начального уровня его подготовки и математических способностей.
1. Планируемые результаты учебного курса внеурочной деятельности
Личностные результаты
• проявлением интереса к прошлому и настоящему российской математики, ценностным
отношением к достижениям российских математиков и российской математической школы, к
использованию этих достижений в других науках и прикладных сфера.
• готовностью к выполнению обязанностей гражданина и реализации его прав,
представлением о математических основах функционирования различных структур, явлений,
процедур гражданского общества (выборы, опросы и пр); готовностью к обсуждению этических
проблем, связанных с практическим применением достижений науки, осознанием важности
морально-этических принципов в деятельности учёного.
• установкой на активное участие в решении практических задач математической
направленности, осознанием важности математического образования на протяжении всей жизни
для успешной профессиональной деятельности и развитием необходимых умений;
2
• ориентацией в деятельности на современную систему научных представлений об основных
закономерностях развития человека, природы и общества, пониманием математической науки как
сферы человеческой деятельности, этапов её развития и значимости для развития цивилизации;
• необходимостью в формировании новых знаний, формулировать идеи, понятия, гипотезы об
объектах и явлениях, в том числе ранее не известных, осознавать дефициты собственных знаний и
компетентностей, планировать своё развитие;
Метапредметные результаты
Метапредметные результаты освоения программы учебного курса «Решение задач
повышенной сложности по геометрии» характеризуются овладением:
1) Универсальными познавательными действиями
• воспринимать, формулировать и преобразовывать суждения: утвердительные и
отрицательные, единичные, частные и общие; условные;
• выявлять математические закономерности, взаимосвязи и противоречия в фактах, данных,
наблюдениях и утверждениях;
• делать выводы с использованием законов логики, дедуктивных и индуктивных
умозаключений, умозаключений по аналогии;
• разбирать доказательства математических утверждений (прямые и от противного),
проводить самостоятельно доказательства математических фактов, выстраивать аргументацию,
приводить примеры и контрпримеры, применять метод математической индукции; обосновывать
собственные рассуждения;
• выбирать способ решения учебной задачи (сравнивать несколько вариантов решения,
выбирать наиболее подходящий с учётом самостоятельно выделенных критериев).
2) Универсальными коммуникативными действиями
• воспринимать и формулировать суждения в соответствии с условиями и целями общения;
ясно, точно, грамотно выражать свою точку зрения в устных и письменных текстах, давать
пояснения по ходу решения задачи, комментировать полученный результат;
• в ходе обсуждения задавать вопросы по существу обсуждаемой темы, проблемы, решаемой
задачи, высказывать идеи, нацеленные на поиск решения; сопоставлять свои суждения с
суждениями других участников диалога, обнаруживать различие и сходство позиций; в корректной
форме формулировать разногласия, свои возражения;
• представлять результаты решения задачи.
3) Универсальными регулятивными действиями
• самостоятельно составлять план, алгоритм решения задачи (или его часть), выбирать способ
решения с учётом имеющихся ресурсов и собственных возможностей, аргументировать и
корректировать варианты решений с учётом новой информации.
• владеть способами самопроверки, самоконтроля процесса и результата решения
математической задачи, самомотивации и рефлексии;
• предвидеть трудности, которые могут возникнуть при решении задачи, вносить коррективы
в деятельность на основе новых обстоятельств, найденных ошибок, выявленных трудностей;
2. Результаты освоения учебного курса ВУД
3
К концу обучения в седьмом классе обучающийся научится:
I. Арифметика
1. Суммы
• вычислять длинные суммы способом «телескопического суммирования»;
• использовать формулы сокращенного умножения, разложения многочленов на множители для
вычисления сумм.
2. Числа и их свойства
• использовать свойства рациональных чисел при решении нестандартных задач;
• строить конструкции с рациональными числами.
3. Закономерности
• обобщать числовую задачу на задачу с переменной;
• составлять и доказывать формулы числовых закономерностей в арифметических,
геометрических, логических и комбинаторных задачах.
4. Время и движение
• решать задачи на движение с помощью перехода в движущуюся систему координат;
• учитывать протяженность объектов в задачах на движение;
• изображать схемы к нестандартным задачам на движение по реке и задачам, которые описывают
схожий тип движения.
II. Геометрия
1. Геометрическое мышление
• решать задачи на построение с использованием соображений симметрии;
• решать нестандартные задачи на нахождение ГМТ (геометрического места точек).
2. Площади
• доказывать и применять формулу площади произвольного треугольника;
• вычислять площади не клетчатых фигур с помощью разрезания на элементарные части
(прямоугольники и треугольники).
3. Геометрические неравенства
• использовать осевую симметрию при доказательстве геометрических неравенств;
• решать задачу о нахождении кратчайшего пути между двумя точками, находящимися по одну
сторону от заданной прямой и касающегося этой прямой.
4. Аналитические методы в геометрии
• доказывать теорему Пифагора с помощью метода дополнения и алгебраических интерпретаций;
• применять теорему Пифагора при решении задач на разрезание.
III. Алгебра
1. От чисел к буквам
• применять способы разложения многочленов на множители при решении нестандартных
алгебраических задач;
• использовать формулы сокращенного умножения для решения таких задач;
• применять метод замены числовых значений переменными для упрощения числовых
выражений.
2. Функциональные зависимости
4
• применять свойства линейной функции при решении нестандартных задач.
3. Неравенства и оценки
• доказывать арифметические свойства неравенств и применять их при решении задач;
• доказывать неравенства с помощью выделения полных квадратов;
• доказывать и применять неравенство Коши (о среднем арифметическом и среднем
геометрическом для двух чисел);
• использовать в доказательстве неравенств метод разбиения одночленов на слагаемые,
прибавления и вычитания некоторого одночлена;
• доказывать и применять неравенство о сумме квадратов трех чисел и их попарных
произведениях.
IV. Теория чисел
1. Делимость
• обосновывать корректность алгоритма Евклида и применять его при решении числовых задач,
задач о делимости;
• доказывать и применять свойства НОД и НОК;
• доказывать теорему о линейном представлении НОД;
• решать линейные уравнения в целых числах.
2. Остатки
• ограничивать множество возможных решений текстовых задач, уравнений в целых числах с
помощью перебора по остаткам;
• составлять таблицы возможных остатков квадратов, кубов чисел;
• использовать свойства сравнений по модулю при решении задач;
• решать сравнения с помощью сведения к линейным уравнениям в целых числах.
V. Логика
1. Математическая логика
• использовать дополнительную раскраску и разбиение на группы для решения логических задач
на оценку и пример;
• строить отрицание логического следования.
2. Принципы решения задач
• применять принцип «узких мест» для конструирования примеров и доказательства
утверждений;
• использовать идею упорядочивания числовых рядов по возрастанию/убыванию, рассмотрения
наибольшего или наименьшего числа в ряду для конструирования примеров и доказательства
утверждений;
• применять геометрический принцип крайнего.
3. Алгоритмы и конструкции
• использовать «жадный» алгоритм для составления примеров, доказательства максимальности
или минимальности;
• применять «жадный» алгоритм при последовательном конструировании;
• приводить примеры задач, в которых «жадный» алгоритм не дает оптимальный ответ.
4. Игры и стратегии
5
• конструировать стратегии в математических играх для двух игроков, основанные на
предварительном разбиении ходов на пары;
• разрабатывать стратегии в математических играх для двух игроков, основанные на создании
«заповедников».
VI. Комбинаторика и теория множеств
1. Комбинаторика
• находить число способов размещения с повторениями и без повторений;
• выводить формулу для числа размещений в виде произведения и в виде отношения
факториалов;
• находить число сочетаний;
• выводить формулу для числа сочетаний;
• различать ситуации, в которых нужно подсчитать число размещений и число сочетаний;
• доказывать равенства для чисел сочетаний алгебраически и комбинаторно;
• решать задачи на подсчет количества способов, связанные с числом размещений и сочетаний.
2. Теория множеств
• выводить и использовать формулу включений-исключений для трех множеств.
VII. Комбинаторная геометрия
1. Раскраски и разбиения
• применять разбиение на группы объектов двух типов, расположенных по кругу;
• использовать метод разбиения досок на непересекающиеся части для доказательства оценок;
• решать задачи с помощью усреднения (с подсчетом общего числа разбиений).
2. Теория графов
• использовать свойства связности, понятие компонент связности графа при решении задач;
• применять графы-деревья для решения задач;
• использовать двудольные графы и их свойства для решения задач.
3. Комбинаторная геометрия
• доказывать свойства раскрасок плоскости;
• решать задачи о существовании одноцветных и разноцветных точек на определенном
расстоянии на плоскости;
• строить правильные раскраски паркетов;
• решать задачи о правильной раскраске объемных фигур. Обучающийся получит возможность
научиться при решении олимпиадных задач самостоятельно:
• анализировать текст задачи, внетекстовую информацию;
• анализировать вопрос (требование) задачи;
• находить взаимосвязи между условиями задачи и использовать их для построения модели и
хода решения;
• строить модели на основе уже известных (график на координатной плоскости, схема, таблица,
диаграмма Эйлера — Венна, граф, уравнение, неравенство);
• выбирать общий подход к решению задачи;
• при необходимости корректировать ход решения задачи в процессе ее решения;
• конструировать собственный способ решения задачи;
6
• применять общие принципы решения задач (анализ «узких мест», принцип крайнего,
масштабирование задачи, индуктивные рассуждения);
• формулировать и доказывать необходимые вспомогательные свойства (леммы);
• проверять решение задачи на соответствие условиям и требованиям, непротиворечивость
математическому и жизненному опыту;
• излагать решение задачи в письменной и устной форме.
3. Тематическое планирование
Разделы, темы
Основные олимпиадные идеи
7 класс
34
1
От закономерности
– к формуле
Обобщение числовой задачи на задачу с переменным количеством
элементов. Формулы числовых закономерностей. Введение формул
закономерностей при подсчете количества объектов в арифметических,
геометрических, логических и комбинаторных задачах
2
Доказательство
“от противного”
Повторение
3
Логика. Оценка и пример
4
Игра 1
5
Формула площади
треугольника
6
Алгоритм Евклида
7
Узкие места
8
9
Мощность множеств
Игра 2
10
Сравнение по модулю
11
Телескопическое
суммирование
12
Рациональные числа
13
Раскраски
14
Игра 3
15
Неравенство треугольника
и дополнительные
построения
Количество
часов
Решение логических задачи на оценку и пример. Доказательства,
использующие раскраску объектов и разбиение на группы
(геометрический принцип Дирихле). Отрицание логического
следования
Повторение тем занятий 1–3
Вывод формулы площади произвольного треугольника с верши- нами в
узлах сетки. Вывод формулы площади произвольного треугольника с
помощью метода дополнения. Вычисление площадей фигур с помощью
разрезаний на элементарные части (прямоугольники и треугольники)
Алгоритм Евклида, свойства НОД и НОК. Их использование при
решении задач
Принцип крайнего (узких мест) как инструмент конструирования
примеров, доказательства утверждений (в том числе в комбинации с
другими методами, такими как метод «от противного»). Элементы
геометрического принцип крайнего
Формула включений-исключений для трех множеств
Повторение тем занятий 4–7
Перебор по остаткам. Остатки квадратов при делении на 3, 4, 5, 7, 8, 9.
Сравнения по модулю. Свойства сравнений. Вопрос о делении
сравнений. Сравнения как удобный метод записи перебора по остаткам
Суммы с переменными пределами. Идея метода телескопического
суммирования при вычислении сумм
Определение рационального числа. Доказательство рациональности
периодических дробей. Конструкции с рациональными числами
Использование различных раскрасок в два и более цвета при решении
задач на клетчатых досках и других задач. Раскраска полосами,
диагональная раскраска в несколько цветов, «крупная» шахматная
раскраска
Повторение тем занятий 8–11
Использование дополнительных построений при доказательстве
геометрических неравенств. Задача о нахождении кратчайшего пути
между двумя точками, находящимися по одну сторону от заданной
прямой, касающегося этой прямой. Более сложные задачи о кратчайших
путях, использующие симметрию и неравенство треугольника
7
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
16
Принцип крайнего и
упорядочивание
17
Деревья
18
“Жадный” алгоритм
19
Игра 4
20
Размещения и сочетания
21
Раскраска на плоскости и
её части
22
Стратегия разбиения на
пары
23
Линейные диофантовы
уравнения
24
Игра 5
25
Формулы сокращенного
умножения
26
Задачи на построение
27
Относительность
движения
28
Неравенство Коши
29
Игра 6
30
Линейная функция
31
32
33
34
Двудольные графы
Подведение итогов года
Резерв
Резерв
Рассмотрение наибольшего или наименьшего числа в ряду.
Упорядочивание ряда чисел
Связность графа, компоненты связности. Циклы в графах. Дерево, его
определения и свойства. Зависимость минимального количества ребер
от числа компонент связности
«Жадный» алгоритм как метод построения примера, доказательства
минимальности или максимальности. «Жадный» алгоритм как метод
при постепенном конструировании. Отклонение от
«жадности»
Повторение тем занятий 12–15
Размещения с повторениями и их использование при решении задач.
Размещения без повторений. Вывод формулы и ее запись в виде
отношения факториалов. Число сочетаний и его связь с числом
размещений. Вывод формулы. Комбинаторное и алгебраическое
доказательства равенств для числа сочетаний
Раскраски плоскости с определенными свойствами. Задачи о нахождении одноцветных и разноцветных точек на определенном
расстоянии. Раскраски паркетов. Раскраска объемных фигур
Развитие представлений о стратегиях в математических играх.
Стратегия предварительного разбиения ходов на пары, связь с те- мой
«Соответствия». Разбиение на пары во время игры. Стратегии создания
«заповедников»
Теорема о линейном представлении НОД, ее использование для
нахождения частного решения линейных диофантовых уравнений.
Решение сравнений через сведение к линейным диофантовым
уравнениям
Повторение тем занятий 16–19
Использование формул сокращенного умножения (разность квадратов,
кубов) при вычислении сумм. Использование методов разложения
многочленов на множители
Решение нестандартных задач на построение, нахождение ГМТ.
Использование симметрии в задачах на построение. Построение
кратчайших путей. Биссектрисы, серединные перпендикуляры как ГМТ
Переход в систему координат, связанную с одним из объектов,
движущимся по прямой или по окружности. Движение мимо
протяженных объектов. Движение по реке. Задачи о двигающемся
эскалаторе
Доказательство неравенств. Неотрицательность квадрата числа.
Выделение полных квадратов. Неравенство о средних арифметическом и
геометрическом для двух чисел. Неравенство о сумме квадратов трех
чисел и их попарных произведениях
Повторение тем занятий 20–23
Линейная функция. Свободный член и угловой коэффициент, их
геометрический смысл. График линейной функции. Точки с
целочисленными координатами на прямой. Использование свойств
линейной функции при решении нестандартных задач (например,
исследование соотношения между шкалами Цельсия и Фаренгейта)
Двудольные графы. Критерий двудольности
Представление «любимых» задач по всем темам
Повторение
Повторение
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Результаты освоения учебного курса ВУД
К концу обучения в девятом классе обучающийся научится:
I. Арифметика
1. Суммы
• применять свойства арифметической, геометрической прогрессии при решении задач;
• решать задачи с произвольными рекуррентными соотношениями.
2. Числа и их свойства
• применять свойства рациональности и иррациональности в алгебраических, геометрических
задачах;
• доказывать невозможность построения правильных многоугольников с вершинами в узлах
сетки.
3. Закономерности
• строить доказательства методом математической индукции с более сложными схемами;
• приводить примеры неверного применения метода математической индукции;
• применять метод математической индукции для решения геометрических, комбинаторных,
комбинаторно- геометрических, теоретико-числовых задач.
4. Время и движение
• сводить текстовые задачи (на движение, совместную работу и т. д.) к линейным и нелинейным
системам с несколькими переменными.
II.Геометрия
1. Геометрическое мышление
• доказывать свойства движений и применять их при решении задач (центральная, осевая,
скользящая симметрия, поворот, параллельный перенос);
• доказывать свойства гомотетии, поворотной гомотетии и применять их при решении задач.
2. Площади
• доказывать методом математической индукции формулу Пика для вычисления площадей
многоугольников с вершинами в узлах сетки;
• применять формулу Пика при решении задач.
3. Геометрические неравенства
• рассматривать различные случаи в геометрических задачах (в том числе при дополнительном
построении).
4. Аналитические методы в геометрии
• применять теоремы синусов и косинусов в доказательствах.
III. Алгебра
1. От чисел к буквам
• доказывать и применять теорему Безу для многочленов;
• использовать понятие асимптотики при решении задач;
• применять теорему Виета для многочленов n степени.
2. Функциональные зависимости
• решать задачи распознавания функций по их свойствам и значениям;
9
выводить интерполяционный многочлен в форме Лагранжа;
• использовать интерполяцию при решении задач.
3. Неравенства и оценки
• применять метод Штурма для доказательства неравенств.
• доказывать и применять неравенство о средних для n
чисел;
•
IV. Теория чисел
1. Делимость
• вычислять функцию Эйлера для некоторых чисел;
• доказывать теорему Эйлера и применять ее при решении задач.
2. Остатки
• использовать понятие первообразного корня при решении задач;
• применять порядок (показатель) числа по модулю и его свойства при решении задач;
• доказывать малую теорему Ферма с помощью показателей;
• Использовать классы вычетов при
доказательстве утверждений.
V. Логика
1. Математическая логика
• решать логические задачи, связанные с теорией графов и другими областями математики.
2. Принципы решения задач
• фиксировать и доказывать наличие полуинварианта в процессе;
• применять инвариант для доказательства конечности процесса;
• применять инвариант при решении задач комбинаторной геометрии, теории графов,
геометрических задач.
3. Алгоритмы и конструкции
• доказывать невозможность построения алгоритма при определенных условиях;
• оценивать сложность алгоритмов.
4. Игры и стратегии
• конструировать стратегии для игр на графах;
• использовать двоичную систему счисления в задачах теории игр.
VI. Комбинаторика и теория множеств
1. Комбинаторика
• применять бином Ньютона, треугольник Паскаля при решении задач.
2. Теория множеств
• доказывать формулу включений-исключений с помощью метода математической индукции;
• применять взаимно однозначное соответствие множеств для упрощения подсчета количества
вариантов.
VII. Комбинаторная геометрия
1. Раскраски и разбиения
• вычислять хроматическое число некоторых графов;
• доказывать планарность графов;
• доказывать и применять теорему Эйлера для связного плоского графа.
10
2. Теория графов
• доказывать и применять критерии существования эйлерова пути и эйлерова цикла в графе;
• решать задачи о поиске гамильтонова пути и цикла в графе;
• использовать ориентированный граф как модель;
• доказывать существование гамильтонова пути в полном ориентированном графе;
• приводить примеры графов без гамильтоновых циклов.
3. Комбинаторная геометрия
• использовать опорную прямую многоугольника при решении задач;
• доказывать существование выпуклой оболочки множеств;
• использовать выпуклую оболочку для решения задач и доказательства утверждений.
• излагать решение задачи в письменной и устной форме.
1. Тематическое планирование
Разделы, темы
Основные олимпиадные идеи
7 класс
3
Повторение
Задачи, сводящиеся к
системам уравнений
Треугольник Паскаля
4
Графы и логика
5
Полуинвариант
6
8
Подведение итогов
Индукция в
неалгебраических задачах
Движение плоскости
9
Распознавание функций
1
2
7
11
Геометрический метод
доказательства неравенств
Подведение итогов
12
Эйлеровы пути и циклы
13
Игры и двоичная система
14
Гомотетия
15
Функция и теорема Эйлера
16
Подведение итогов
Прогрессии. Реккурентные
соотношения
10
17
18
19
20
Формула Пика
Приложения
иррациональных чисел
Гамильтоновы пути и
Количество
часов
34
Задачи на повторение
Текстовые задачи, сводящиеся к решению систем линейных и
нелинейных уравнений
Задачи, связанные с треугольником Паскаля
Логические задачи, связанные с другими областями математики (графы,
теория чисел)
Задачи о процессах, в которых есть полуинвариант (величина, значение
которой монотонно изменяется в ходе процесса)
Подведение итогов по занятиям 2–5
Задачи на ММИ с более сложными схемами. Примеры неправильного
использования ММИ. Применение ММИ в неалгебраических задачах
Задачи на использование движений плоскости. Теорема Шаля
Задачи на восстановление функций по значениям. Применение
интерполяционного многочлена Лагранжа
Доказательство алгебраических неравенств с помощью перехода к
соответствующим геометрическим задачам
Подведение итогов по занятиям 6–9
Задачи на использование критериев существования эйлерова пути,
эйлерова цикла в графе, разбиение графа в объединение простых путей
и циклов
Стратегии, получаемые с помощью двоичной системы счисления. Игра
Ним
Применение гомотетии при решении задач
Задачи на применение функции Эйлера и ее свойств (значения для
простых чисел, мультипликативность), теоремы Эйлера
Подведение итогов по занятиям 10–13
Задачи на последовательности, прогрессии, рекуррентные соотношения
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Доказательство формулы Пика. Индукция в комбинаторногеометрических задачах. Задачи на применение формулы Пика
Алгебраические и геометрические задачи с иррациональностями
1
Задачи на использования критериев существования гамильтонова пути и
1
11
1
циклы
21
Вычеты и показатели
22
Подведение итогов
23
Неравенство о средних для
нескольких чисел
24
Хроматическое число
графа
25
Теорема Безу
26
27
28
29
30
31
Неравенства. Метод
штурма
Подведение итогов
Изоморфизм множеств и
задач
Бином Ньютона
Планарные графы и
формула Эйлера
Теоремы синусов, теорема
косинусов
32
Выпуклая оболочка
33
34
Подведение итогов года
Резерв
цикла в графе. Примеры графов без гамильтоновых циклов.
Гамильтоновы пути в ориентированных графах
Задачи с использованием порядка (показателя) числа по модулю, его
свойства. Классы вычетов. Доказательство МТФ через показатели,
системы вычетов
Подведение итогов по занятиям 14–18
Доказательство неравенства о средних для нескольких чисел с
использованием ММИ и его использование при доказательстве
неравенств
Задачи с использованием понятия хроматического числа графа
Задачи на использование теоремы Безу, теоремы Виета для уравнений
высших степеней. Понятие асимптотики на примере зависимости
поведения многочлена от знака его старшего коэффициента
Использование метода Штурма для доказательства неравенств
Подведение итогов по занятиям 19–22
Использование понятие изоморфизма множеств для упрощения подсчета
числа вариантов
Задачи с использованием бинома Ньютона
Задачи с планарными графами, применение формулы Эйлера для
связного планарного графа
Применение теоремы синусов и теоремы косинусов при решении
геометрических задач
Задачи на использование опорной прямой многоугольника, выпуклой
оболочки системы точек
Представление «любимых» задач по всем темам
Повторение
12
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
